Factorización

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 ¿Qué es factorizar una expresión algebraicas?

Factorizar una expresión algebraica consiste escribirla como producto.

1. Factor común monomio

Un factor común monomio, es el factor que está presente en cada término del polinomio. En el caso de los coeficientes numéricos el factor común es el mayor divisor posible entre ellos y el factor común literal está conformado por el o los elementos de la parte literal presentes en todos los términos con el menor exponente. Se escribe el factor común monomio multiplicado por el polinomio resultante de dividir cada término del polinomio original entre el factor común monomio.

Ejemplo:



Sacamos factor común numérico y literal

(en este caso solo econtramos factor común numérico)

En este caso vemos los divisores de 18, 18 y 24, entonces quedaría:

6(2x)+6(3y)−6(4z)=6(2x+3y−4z)


Ejercicios de práctica:

https://matematicasn.blogspot.com/2015/12/factorizacion-por-factor-comun-monomio.html


2. Factor común polinomio

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión, ahora el factor común resulta ser un polinomio.

Ejemplos:




Sacamos el factor común que en este caso es (a+b) y agrupamos lo que queda afuera







Ejercicios de práctica:


3. Factor común por agrupación

Se trata de agrupar términos de manera que entre cada grupo podamos obtener un factor común y de esta forma si es posible obtener a su vez un factor común polinomio.




Agrupamos los términos comunes según como se pueda, luego resolvemos por factor común.

Y finalento lo que queda afuera del factor común lo agrupamos.





Ejercicios de práctica:



4. Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:



En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:




Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

  • Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos
  • Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es negativo).

Factorización de diferencias de cuadrados:


Ejemplos:

Ejercicios de práctica:



5. Trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:


es un trinomio cuadrado perfecto ya que



Reglas:
  • El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.
  • Dos de los términos son cuadrados perfectos.
  • El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
  • El primer y tercer término deben de tener el mismo signo
Fórmula:


Ejercicios de práctica:




6. Suma o diferencia de cubos

Diferencia de cubos de dos términos es igual al producto de la diferencia de estos términos por el cuadrado imperfecto de la suma de estos términos:

                                            a3 - b3 = (a - b)·(a2 + ab + b2)

Para comprobar la validez de la fórmula de la diferencia de cubos es suficiente multiplicar los términos abriendo los paréntesis:

(a - b)·(a2 + ab + b2) =

= a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3

Ejemplo:

x3  -27.

x3 - 27 = x3 - 33 = (x - 3)·(x2 + 3x + 9)



https://www.algebra.jcbmat.com/id1179.htm 


 Sitio Oficial


7. Trinomio de la forma x2 + bx + c

Distinguir este tipo de factorización es muy fácil, al igual que resolverla.
  • Sabemos que un trinomio se resuelve por la forma x2+bx+c  siempre y cuando el primer termino este elvado al cuadrado 
  • Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).
  • Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
¿Cómo se resuelve?

El primer paso es sacar la raíz cuadrada del primer término

Luego abrimos dos paréntesis y colocamos el resultado de la raíz cuadrada en los dos

Por último buscamos un número que multiplicado de el tercer término y sumado de el segundo término (hay que tener en cuenta los signos)


Ejemplo:

x2+ 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)

-El producto de x por x es igual a x2
-La suma de (7) y (- 3) es igual a (4) que es el segundo termino
-El producto de (7 ) y (-3) es igual a (-21) que es el tercer termino

Ejercicios de práctica:



8. Trinomio de la forma ax2+bx+c

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.

2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad.

3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Ejemplo:













Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

Se resuelve el producto del primero y tercer término dejando indicado el del segundo término.

Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman por que los signos de los dos factores son iguales)

Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común monomio, se descompone el 15 y por último dividir.

Ejercicios de práctica:



Video de los casos de factorización:

                            


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